更新時間：2021-04-25 23:20:14作者：網絡
??倒數關系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的關系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方關系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
平常針對不同條件的常用的兩個公式
sin2 α cos2 α=1 tan α *cot α=1
一個特殊公式
（sina sinθ）*（sina sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ） 證明：（sina sinθ）*（sina sinθ）=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a θ）*sin（a-θ）
銳角三角函數公式
正弦： sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊 余弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊 正切：tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊 余切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊
二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1。
??Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2。Cos2a=1-2Sin^2(a) 3。Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推導 sin(3a) =sin(a 2a) =sin2acosa cos2asina =2sina(1-sin2a) (1-2sin2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina[(√3/2)2-sin2a] =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60° sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60° a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosa[cos2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos2a-cos230°) =4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a 30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)] =4cosacos(60°-a)cos(60° a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)
n倍角公式
sin（n a）=Rsina sin（a π/n）……sin（a （n-1）π/n）。
?? 其中R=2^（n-1） 證明：當sin（na）=0時,sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】 這說明sin（na）=0與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。
?? 所以sin（na）與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比。 而（sina sinθ）*（sina sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ）,所以 ｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】 與sina sin（a π/n）……sin（a （n-1）π/n）成正比（系數與n有關 ,但與a無關,記為Rn）。
?? 然后考慮sin（2n a）的系數為R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n。易證R2=2,所以Rn= 2^（n-1）
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA。
?? sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))
和差化積
sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)
兩角和公式
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβsin(α β)=sinαcosβ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
積化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α β)] /2 cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2
雙曲函數
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二： 設α為任意角,π α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 任意角α與 -α的三角函數值之間的關系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系： sin（π/2 α）= cosα cos（π/2 α）= -sinα tan（π/2 α）= -cotα cot（π/2 α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2 α）= -cosα cos（3π/2 α）= sinα tan（3π/2 α）= -cotα cot（3π/2 α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt θ) B·sin(ωt φ) = √{(A2 B2 2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt arcsin[ (A·sinθ B·sinφ) / √{A^2 B^2; 2ABcos(θ-φ)} } √表示根號,包括{……}中的內容
誘導公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2 α) = cosα cos(π/2 α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π α) = -sinα cos(π α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 誘導公式記背訣竅：奇變偶不變,符號看象限
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))2] cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1 (tan(α/2))2] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]
其它公式
(1) (sinα)2 (cosα)2=1 (2)1 (tanα)2=(secα)2 (3)1 (cotα)2=(cscα)2 證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)2,第二個除(cosα)2即可 (4)對于任意非直角三角形,總有 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC 證: A B=π-C tan(A B)=tan(π-C) (tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC) 整理可得 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當x y z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立 由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論 (5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1 (6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）2 (cosB）2 (cosC）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）2 （sinB）2 （sinC）2=2 2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)
兩角和公式
sin(A B) = sinAcosB cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB sinAsinB tan(A B) = (tanA tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1 tanAtanB) cot(A B) = (cotAcotB-1)/(cotB cotA) cot(A-B) = (cotAcotB 1)/(cotB-cotA)。
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