行列式是什么 深度學習中的核心方法：坐標變換與表示學習
更新時間：2024-08-19 09:44:13作者：佚名
在數學、物理和工程領域，將問題轉化為更易于表達、分解和計算的坐標系是一種核心方法：SVD、譜分解、傅里葉變換和拉格朗日力學都是如此，其重要性遠遠超出一般認知。深度學習如此受歡迎的重要原因行列式是什么，就是通過表示學習，將高維數據映射到合適的低維特征空間。
在反向傳播中，神經元輸出相對于輸入的局部敏感度是偏導數
來源：~srihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf
在映射過程中，描述不同函數變量之間變化速度的導數非常重要。雅可比矩陣提供了一種表達局部輸出對輸入敏感度的方法。神經網絡的BP反向傳播依靠誤差與權重之間的偏導數關系來訓練權重。神經網絡的權重有幾萬個，代價函數對哪些權重的變化敏感。毫無疑問，那些權重更為重要。雅可比矩陣為分析神經網絡的輸入輸出行為提供了一個數學框架。當然，雅可比的應用極其廣泛，機器學習只是冰山一角。
目錄
坐標變換
一維變量替換
雅可比矩陣
雅可比行列式
神經網絡 BP 誤差反向傳播
雅可比正則化
關于卡爾·雅各布·雅各比
01
坐標變換
坐標變換的原因之一是為了方便積分。當被積函數為復數時，變量代換往往可以簡化問題。例如，對圓形面積進行積分時，極坐標比笛卡爾坐標更方便。有時被積函數為復數，變量代換可以降低復雜度。坐標變換的思想可以進一步擴展到任何自定義變量代換坐標系：
例如，對下面四條直線圍成的平行四邊形的面積求積分，四條直線的方程為：。
引入新變量： ，兩條斜線變為 ，兩條水平線變為 。顯然，在矩形區域上積分比在平行四邊形區域上積分更方便。
02
一維變量替換
讓我們以一個簡單的 1D U-Substitution 玩具案例為例來回顧一下變量替換過程。
推導：
順序：，然后，
然后將其推廣到更一般的代換情況：對于 ，這意味著當對 作出一個微小的擾動時，相應的 的變化與 呈線性關系。同時，定積分的上下限也要作相應的調整： ，其中出現了一個比例因子，也就是導數，它是單變量下的雅可比矩陣，可以理解為 。
注意：這和我們通常看到的方向相反，為了和多變量下的形式保持一致，比如上例中的總和。
03
雅可比矩陣
在多變量的情況下，坐標變換描述的是從 到 的連續一一變換。注意，這是獨立變量，它是上面帶有獨立變量的函數的反函數。可以看出，雅可比矩陣可以是雙向的，一般從積分較難的方向指向積分較容易的方向。
矩陣形式為：
，在
這是雅可比矩陣。
假設在映射中，輸入為，輸出為。雅可比矩陣告訴我們：如果
是位移矢量，則
是相應坐標變換后空間中的位移矢量
這是 的最佳一階近似，這是一階泰勒公式近似思想在坐標變換中的體現。
我們來看看下面的方向：
從 UV 平面到 XY 平面的坐標變換
假設我們對坐標系中位于的點進行擾動，并分別將其增大，以得到一個很小的面積。現在考慮坐標系中擾動所對應的變化：，。
在坐標中，平行四邊形的面積是兩個邊向量叉積的大小：
04
雅可比行列式
此時，雅可比矩陣是一個方陣，而相應的雅可比行列式計算的是給定矩陣的線性變換的比例因子，告訴我們該變換是空間放大還是縮小貝語網校，并且這個因子對于空間的任何區域都是不變的（行列式）。
行列式等于矢量包圍的面積或體積
這就是雅可比行列式，或者簡稱為“雅可比”。
在上面的平行四邊形變成矩形的例子中：
這意味著平行四邊形和矩形的積分按 1 倍縮放。
05
神經網絡 BP 誤差反向傳播
雅可比矩陣用于神經網絡中反向傳播誤差信號時。來源：PRML
BP反向傳播是最經典的神經網絡權重訓練方法，至今仍是最重要的方法。BP算法還有另外一個名字——“總是尋求偏導數”。在將誤差信號前向傳遞到輸入層的過程中，權重被調整/學習。上圖中，紅色模塊對應需要計算的雅可比矩陣，公式如下：
，其中是估計值。
前面我們提到，行列式的值告訴我們空間是在膨脹還是在收縮。如果輸出空間在輸入空間的某個輸入點處大大膨脹，則意味著神經網絡在這個區域可能有些不穩定，輸入中的任何擾動都可能導致輸出出現巨大的波動。相反，如果行列式相對較小，則輸入的變化對輸出的影響就很小。
神經網絡的雅可比矩陣的計算過程為：輸入向量在神經網絡中經過前向傳播，得到所有輸出層和隱含層的激活值，對輸出單元進行反向傳播，對應雅可比矩陣中的行，向輸入層反向傳播。計算結果可以用數值方法驗證：。
06
雅可比正則化
參考：基于雅可比正則化的穩健學習
近年來，雅可比矩陣被應用于正則化。與正則化不同，雅可比正則化關注的是神經網絡對輸入波動的魯棒性。你可能對對抗樣本很熟悉。少量的長臂猿梯度（中）混入了一張熊貓圖片（左），導致分類算法錯誤地將圖片識別為置信度為 99.3% 的長臂猿（右）。
Jacobian Regularization 的思想很簡單，Jacobian 矩陣中的值越小，表示輸入空間的微小波動對輸出空間的影響越小。具體來說，它取 Jacobian 矩陣的 Frobenius 范數，也就是矩陣所有元素之和的平方根。
07
關于卡爾·雅各布·雅各比
卡爾·古斯塔夫·雅可比（1804 – 1851）
雅可比矩陣和行列式是由德國數學家卡爾·古斯塔夫·雅各布·雅可比（1804-1851）提出的，他對橢圓函數、動力學、微分方程、行列式和數論做出了重要貢獻。他推動了偏微分符號的廣泛使用行列式是什么，只要看一眼雅可比公式就能知道原因。不要把它與學術巨人雅各布·伯努利（1654-1705）混淆。
以雅各布命名的月球隕石坑
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