北師大附屬實驗中學2024-2025學年度高一數學期中試卷及考試須知
更新時間：2024-12-20 09:23:10作者：佚名
1yx=-D。 ||yx=5。已知函數1()2fxxx=?，在下面的區間中，必須包含()fx 的零點的區間是A. 11,42B。 1,12C。 (1,2)D。 (2,4)6。假設12a-=，125b-=，1327c-=，則A.cba··B。駕駛室?C. bca··D。 abc··7. “0a?”是A“關于x的不等式210axxa?+的解集是”。充分非必要條件 B. 充分必要條件 C. 充分必要條件 D. 條件 8 既不充分也不必要。已知某商品每件成本為8元，則每件月銷量y（萬件）與售價x（元）的函數關系約為：181yx=?。如果每月凈利潤最高，則單位售價應設置為（注：凈利潤=總銷售額-總成本） A. 10 元 B. 12 元 C. 15 元 D. 16 元 9. 對于函數 22,3()4,3xxxfxxx?+=≤，下列說法正確的是 A. ()fx 有最大值 B. 的解集()0fx? 是 (,0)? C。 ()fx 在 [1,)+ 上單調遞減 D。對于任何0x，都有()()fxfx?10。已知集合{(,)|}Axyxya=+=, {(,)|4Bxyxy==, 2}bxb+≤≤，若有0b，則AB中恰好有2個元素，則a的取值范圍為A。
(4,25]B. (4,5]C.[25,)+ D.[5,)+ 2.填空題（本題共5題，每題5分，共25分）11．命題“xN，22x≤”的否定是。 12. 計算：222log6log9?=。 13、假設實數xy滿足：12x≤≤，68y≤≤，則yx的取值范圍為。 14. 若[0,]m上函數2()65fxxx=?+的取值范圍為[4,5]?，則m的最小值為；最大值是。 15. 已知()fx是R上的奇函數，不等式[()][()]0fxxfxx???≥的解集為S。給出以下四個結論： ① 必有為0S； ② 可能存在0xS和0xS?； ③ 若當0x時，()(0)kfxkx=，則必有SR； ④ 若當0x、2()fxxax=?、[1,1]S?時，則a的取值范圍為[0,1]。所有正確結論的序號是。 3.回答問題（本大題共有3個小題，共35分） 16.（本題滿分10分）假設集合2{|230}Axxx=+?≤, {|| 2}Bxxa=?。 (Ⅰ)若0a=，求AB，()ABR； (二)若ABA=，求a的取值范圍。 17.（本題滿分13分）已知關于x的方程22(24)0xmxm?++=有兩個不相等的正數。實數。 ．根。 12、xx。
(Ⅰ)求m的取值范圍； (二)若12217xxxx+=，求m的值； (Ⅲ) 若122xx+=，求m的取值范圍。 18.（本題滿分12分）已知函數()fx是R上的偶函數，當0x≥時，1()1xfxx?=+。 (Ⅰ) 當0x?時，求()fx的解析式； (二)判斷()fx在[0,)+上的單調性，并根據單調性的定義進行證明； (Ⅲ)若1ab+=，且ab?，試比較()fa和()fb的大小，并說明理由。卷二（共 50 分） 4. 填空題（本大題有 4 個小題，每個小題 5 分，共 20 分） 19. 給出一組命題，可以證明“如果 ab ，則 2 21 11 1 ab+ +”為假，ab 的值為：a =；乙 =。 20. 已知集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} U = , , ABU 和 AB , 滿足: {1, 4} AB = , {3, 5} A = , ( ) { 2, 7}UA B = ，則 A=；乙=。 21。已知21( )x txf xx+ += 是奇函數。 ① t=； ②如果| ( ) | fxm ≤ 恰好有兩個整數解，則 m 的取值范圍為 。 22。功能2| 3| 2, ,( )( ), .
xx af xx axfax a+ ? =? + + ≤① 當 2 a = ? 時，( ) fx 的單調遞增區間為； ② 如果 ( ) fx 恰好有三個零點，則 a 的取值范圍為 。 5.回答問題（本大題共有3個小題，共30分） 23.（本題共8分）我們知道0 m 和0 n 。 (Ⅰ)求4m nn m+的最小值； (二)對于(一)中取得最小值的各組mn，總成立222 51km nk?++≤，并求出k的取值范圍。 24。 （本題12分） 已知函數2( ) 4 fxx ax a = ? + 。 (Ⅰ) 當 1 a = 時，驗證： 2( ) 2 fxx ? ? ； (二)若( ) fx 在[0, 2]上的最小值為3 ? ，求a的值； （Ⅲ）若存在1,13x，使得2( )1 2f xx≤ ≤ ，求a的取值范圍。 25.（本題10分）對于非空有限集A，表示*{ A aa A = 或 } a A ? , | | A 表示 A 中所有元素的個數。 (一) 若 { 1, 0, 2} A = ? ，則用枚舉法直接寫*A； (二) 給定 *k N 和 2 k ≥ ，令 {1, 2, , } A k = ，對于 1 mk ≤ ≤ 和 *mN，表示 { | }mB xxm A = + ，求*|的最小值③ 1 2* *1 2| | | | 2| | | | 3A AA = =。
驗證：1??2| | | | AA = .北京師范大學附屬實驗中學2024-2025學年第一學期期中試卷數學一年級參考答案試卷Ⅰ（共100分）1.選擇題（每題4分，共 40 分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CDCDBACDA 2. 填空（每題 5 分，共 25 分） 題號 11 12 13 14 15 答案 x N , 22 x 2 [3,8] 3； 6 ①③④ 3.回答問題16。解： (Ⅰ) [ 3,1] A = ?( , 2) (2, ) B = ? ? + ( ,1] (2, ) AB = ? + [ 2, 2] B = ? R( ) [ 2,1] AB = ?R(Ⅱ) ( , 2) ( 2, ) B aa = ? ? + + , ABAAB = 只需要： 2 1 a ? 或 2 3 a + ? 解： 5 a ? 或 3 a a 的取值范圍為 ( , 5) (3, ) ? ? + 17 。 Ⅰ) 2 2(2 4) 4 16 16 0 1 mmmm = + ? = + ?1 22 4 0 2 xxmm + = + ?21 20 0 xxmm = 解為： 1 m ? 和 0 m 綜上，m 的取值范圍為 (1, 0) ( 0, ) ? + (二) 21 2 1 2 1 22 1 1 2( ) 2 xxxxx xx xx x+ ?+ =2 22(2 4) 27m mm+ ?= =整理后得到 25 16 16 0 mm ? ? = 經驗證，解為 4 m= 或 45?。 ，問題解決 (III) 21 2 1 2 1 2( ) 2 xxxxxx + = + +22 4 2 mm = + + 2 4 2|| 2( ) 2 4 2 4 4 xxmmm + = + + = + 因此 1 22 xx + ，不適用于該問題 綜上所述，m 的取值范圍為 (1。 , 0) ? 18。
解： (Ⅰ) 當 0 x , 0 x ? , 1( )1xf xx+? =? 由于 ( ) fx 是偶函數，所以 1( ) ( )1xf xf xx+= ? =? (二) 結論： ( ) fx 在 [0, ) + 上單調遞減，并取任意 1 2, [0, ) xx + ，和 1 2x x 2 12 12 11 1( ) ( )1 1x xf xf xx x? ?? = ?+ +2 1 1 2 1 22 1 2 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2( )0( 1 )(1 ) (1 )(1 )xxxxx xx xxx? + ? ? + ?= = ++因此 1 2( ) ( ) fxfx , ( ) fx 在 [0, ) + 上單調遞減 (Ⅲ) 結論：( ) ( ) fafb 理由如下： 112a baa = ? 當 102a ≤: , [0, ) ab + 和 ab , ( ) fx 在 [0, ) + 上單調遞減，所以 ( ) ( ) fafb ② 當 0 a 時： , (0, ) ab ? + 和 ab ? , ( ) fx 在 (0, ) + 上單調遞減，因此 ( ) ( ) fafb ? 因為 ( ) fx 是偶函數， ( ) ( ) ( ) fafafb = ? 綜上： ( ) ( ) fafafb 。
第二卷（共50分） 4.填空題（每題5分，共20分） 19 例如：2?； 1 ? （答案不唯一） 20 {1, 4, 6}； {1,3,4,5} 21 0; 5[2, )222 ( 3, 1) ? ? ; ( 5, 2) ( 2, ) ? ? ? + 注：第22題第一題為空，兩端可開可閉。 5.回答問題（共 30 分） 23.解：（一）因為 0 m , 0 n 網校頭條，所以 40mn , 0nm4 42 4m nm nn mn m+ = ≥ 當且僅當 2 nm = ，等號成立。因此，4m nn m+ 的最小值為 4 (Ⅱ) 由題：當 2 nm = 時，只有 2min2( 2 5)1km nk? ++≤ 即： 2min2( 4 5)1km mk? ++≤2 24 5 ( 2) 1 1 mmm ? + = ? + ≥ 當且僅當 2 m= 時，等號成立，因此 2min( 4 5) 1 mm ? + = 只需要： 211kk +≤ ，可得： 101kk?+≤ ，相當于： ( 1)( 1) 0 kk ? + ≤ 和 1 0 k + 解為： 1 1 k ? ≤ 綜上所述，k的取值范圍為(1,1] -24。
解： (Ⅰ) 當 1 a = 時，2( ) 4 1 fxxx = ? +2 2 2( ) 2 2 4 3 2( 1) 1 0 fxxxxx + + = ? + = ? + So 2( ) 2 fxx ? ? (Ⅱ)① 當 0 a ≤ (2 0 a ≤ ) 時，min( ) (0) fxfa = = 設min( ) 3 3 fxa = ? = ? ，則結果為 ② 當 0 1 a (0 2 2 a ) 時，2min( ) (2 ) 4 fxfaaa = = ? 設 min3( ) 34f xa = ? = ? 或 1，都不符合問題 ③ 當 1 a≥ (2 2 a ≥ ), min( ) (2) 4 7 fxfa = = ?設 min( ) 3 1 fxa = ? = ，總結問題北師大實驗中學，3 a = ? 或 1 (Ⅲ) 解一：由問題可知：有 1[ ,1]3x ，使得 2 2( ) 2 xfxx ≤ ≤ 即：有 1[ ,1]3x ，使得 2(4 1) 0 (1)4 0 (2)a xx ax a? + ?≤≥對于 (1)，由于 1[ ,1]3x，有4 1 0 x ? ，所以 0 a 不符合問題，即必須有 0 a ≤ 對于 (2)，記住 2( ) 4 gxx ax a = + ? ，即： max( ) 0 gx on 1[ ,1]3 ≥當 103a ? ≤ ≤ (223a ? ≤ ) 時，有 max( ) (1) 3 1 0 gxga = = + ≥ ，當 13a ? (223a ? ) 時，有 max1 3 1( ) ( ) 03 9ag x g+= = ，不適用于該問題。綜上，a的取值范圍為1[ , 0]3?解2： 由題可知：有1[ ,1]3x，故2 2( ) 2 xfxx ≤ ≤ 等價于p： ”有 1[ ,1]3x，故 2(4 1) 04 0a xx ax a? + ?≤≥”是一個考慮 p 的真命題：“任意 1[ ,1]3x , (4 1) 0 ax ? 或 24 0 x ax a + ? ”“任意 1[ ,1]3x , (4 1) ) 0 ax ? ” 0 a ( ) 4 gxx ax a = + ? , “任意 1[ ,1]3x , 24 0 x ax a + ? ” 1 3 1( ) 03 9(1) 3 1 0agg a+ = = + 13a 因此，如果 p 是真命題，則 13a 或 0 a 回到原題，若p為真命題，則a的取值范圍為1[ , 0]3? 解3： 2 2( ) 41f xa ax xx= ? + ，令1tx=記為2 22( )( ) ( 4 ) 1 ( 2) 1 4f xh tattat ax= = ? + = ? + ? 由問題可知：有[1, 3] t ，使得 1 ( ) 2 ht ≤ ≤ 當 0 a = 時，當 0 a 時，是完全問題， max( ) (1) 1 3 1 htha = = ? ，且為當 0 a 時不是問題，只有 maxmin( ) (2) 1 4 1( ) (1) 1 3 2h ah tha= = ? = = ?≥≤，解為103a ? ≤ 綜上，a 的取值范圍為1[ , 0]3-25。
解： (Ⅰ)*{ 2, 1, 0,1, 2} A = ? ? (Ⅱ) 當112km+≤ ≤時： *| | 2( ) 1 2 2 1mB kmkm = ? + = ? +如果 k 為偶數，*| | 1mB k + ≥ ，當且僅當 2km = 如果 k 為奇數時，*| 相等|mB k ≥ ，當且僅當 12km+= 時才相等。當12公里k+≤：*| | 2( 1) 1 2 1mB mm = ? + = ? 如果 k 為偶數，則 *| | 1mB k + ≥ ，當且僅當 k 為奇數時，*| | 2mB k + ≥ ，當且僅當 32km+= 綜上，當k為奇數時，*|的最小值|mB 是 k。當k為偶數時，*|的最小值|mB 為 1 k + (Ⅲ) 證明：對于 A，記 ( ) { | PA aa A = 且} a A ? , ( ) { | QA aa A = 且} a A ? 則： ( ) ( ) PAQA = , ( ) ( ) PAQAA =*( ) [ ( )] PAQA = , * *( ) [ ( )] PAQAA = 因此： | | | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |阿帕卡帕卡 = = +* * *| | ( ) [ ( )] | | ( ) | | [ ( )] | | ( ) | 2| ( ) | APAQAPAQAPAQA = = + = +由于 1 2A A = , 1 2* *1 2| | | | ( ) | | ( ) | 2| ( ) | | ( ) || | | ( ) | 2 | ( ) | 3i i ii ii iA PAQ AP AQ AA PAQ A+= = =+( 1, 2 i = ) 則： | | 2 | ( ) |i iA QA =任意選擇 1( ) ) x AA 由于 *1 2 1 2( ) AAAA = ，所以 1 2( ) x AA ? 和 *1[ ( )] x QA ? 北師大實驗中學，則 1x A ? ，所以 2 2 2( ) ( ) x APAQA ? = If 2( ) x PA ? ，則 2 2( ) x PAA ，則 1 2( ) x AA 與 1 2A A = 矛盾，故有 2( ) x QA ? 同理，如果選擇 2( ) y QA ，則有 1( ) y QA ? ，即：1( ) QA 和 2( ) QA 的元素一一對應，因此 1 2| ( ) | | ( ) | QAQA = ，所以 1 2| | | | AA =