直線的方向向量怎么求？高中數學超詳細圖文解析來了
更新時間：2025-12-13 11:13:29作者：佚名
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高中數學選擇性必修第一冊BS
4.1，直線的方向向量，與平面的法向量，課前預習，課中探究，備課素材，探究點一，直線的方向向量，探究點二，點在直線上的充要條件，探究點三，平面的法向量 ，。
【學習目標方面】，其一，能夠運用向量的語言去描述直線以及平面 ；其二，對直線的方向向量和平面的法向量加以理解 。
知識點一，空間元素的向量表示，課前預習，定點O，位置向量，圖3-4-1， 。
課前預習方向向量無數個任意非零向量a?圖3-4-2
在所提及的課前預習內容中，關于直線l的向量表示方面，存在具體情況，那便是如圖3-4-3展現的樣子，其中已知點M處于直線l之上，并且非零向量a屬于直線l的一個方向向量，那么對于直線l上處于任一處的點P而言，必然存在實數t，使得呈現出特定情況，反之，依據幾何知識能夠輕易判定，滿足上述式子的點P必定會落到直線l之上，所以，我們將這個式子稱作 ，此處伴隨著圖3-4-3 。
判斷對錯，（請在括號之中打“√”或者“×”），（1）要是向量a是直線l的一個方向向量，那么在k不等于0時，向量ka才是直線l的一個方向向量并非任意k情形。（2）若A點坐標為(2,1,1)，B點坐標為(1,2,2)且這兩點在直線l上，那么由B點坐標減去A點坐標得到由這些坐標對應相減所構成的向量才是直線l的一個方向向量，為[1-2,2-1,2-1]即(-1,1,1)而不是(-2,2,2)。所以這里（1）應打“×”，（2）應打“√” ，這屬于課前預習內容。
?課前預習知識點二點在直線上的充要條件?
?√×課前預習
一條直線l與一個平面α，若存在這樣的情況，那么把直線l的方向向量n稱作平面α的法向量，對嗎？確定平面位置是如此，如圖，過點A且以向量a為法向量的平面，其可表示為集合，是這樣嗎？課前預習涵蓋知識點三，平面的法向量及其求法，二者是垂直關系嗎？這就是關于平面的法向量的相關內容 。
于空間直角坐標系當中，來求平面的法向量時，其一般步驟為，首先進行課前預習，接著求出方程a2x加b2y加 c2z等于0的一組解，且這組解對應的向量要不共線 。
在進行課前預習時，會涉及到方程A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 ，那么平面α的方程是什么呢？ 標點符號。
1. 進行判斷正誤，要是在括號里打“√”或者“×”，要是向量\(n1\)、\(n2\)是同一個平面的法向量，那么以這兩個向量作為方向向量的直線肯定是平行的。（ ）× 課前預習 2. 平面的法向量存在幾個呢？它們具備怎樣的關系呢？解答是：平面的法向量存在無數個，它們是平行向量。
假如存在點A，其坐標是(-1,0,2) ，還有點B，坐標為(1,4,10)直線的方向向量怎么求，這兩點處于直線l之上，那么直線l的其中一個方向向量會是以下選項中的哪一個呢 。選項A是(1,2,4) ，選項B是(1,4,2) ，選項C是(2,1,4) ，選項D是(4,2,1) 。接下來探究點在于直線的方向向量A，課中進行探究 。
式子變化呈現出此已知狀況，直線l的方向向量v為(2,1,3)，并且直線l經過A(0,y,3)這個點，同時直線l還經過B(-1,-2,z)這個點，那么y等于什么呢，z又等于什么呢。課中探究。
素養小結
在尋找直線的方向向量時，關鍵之處在于要找到直線上相繼的兩個有著先后順序的點，接著運用所給定的基向量去表示那個處于這兩個點之間的、以這兩個點分別作為起點和終點的向量。直線的方向向量并非僅僅只有一個，這是課中探究所涉及的內容 。
換個說法來講，已知存在空間之中的三個點，分別是A(0,1,2)，B(1,3,5)，C(2,5,4-k)，它們處于同一條直線之上，那么請問實數k的取值是多少呢？選項分別是A.2，B.4，C.-4，D.-2，這一問題指向的是探究點二里關于點在直線上的充要條件這一內容，屬于課中探究的范疇 。
若存在三個點，分別是A點為(1,5,-2)，B點為(2,4,1)，C點為(a + 1,3,b)，其中a、b屬于實數集R，這三點在同一條直線之上，那么對于a的值為，b的值為。 ？2課中探究？4。
?課中探究
例3，已知A點為(3,4,0)，B點是(2,5,2)，C點為(0,3,2)，那么平面ABC的一個單位法向量是什么呢？探究點三是平面的法向量，包括課中探究，其中角度1是求平面的法向量 。
轉變形式呈現為像圖3 - 4 - 4那樣，正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長是1，把D當作原點，將DA、DC、 DD1所在的直線分別作為x軸、y軸、z軸，進而構建起空間直角坐標系，那么平面A1BC1的其中一個法向量的坐標是這個樣子的（ ），選項A是(1,1,1) ，選項B是(-1,1,1) ，選項C是(1,-1,1) ，選項D是(1,1,-1) ，A是課中探究，這里是圖3 - 4 - 4 。 。
?課中探究
?課中探究?圖3-4-5
例4，寫出經過點A(3,2,1),且與直線l由方向向量n=(-1,3,4)所確定的方向垂直而得上的平面α的方程課堂中間來探究其角度2去求平面的方程 。
在空間直角坐標系O - xyz里，平面α經過點P0（2，0， - 1），它有一個法向量是n =（3，1， - 1），設點P（x，y，z）是平面α內的任意一點，那么點P（x，y，z）的坐標所滿足的方程是 3x + y - z - 7 = 0，答案選C，課中探究？
素養小結
尋找平面α的方程的重點在于明確平面α的法向量n=(A,B,C)，接著借助A(x-xα)+B(y-yα)+C(z-zα)=0（其中(xα,yα,zα)是平面α內一點的坐標）能夠得出，課中探究。
(1)平面α當中的任意一條直線的方向向量物業經理人，均會被平面α的某一個法向量垂直著 。(2)存在著無窮無盡個一個平面的法向量，這些法向量彼此之間呈現出互相平行的狀態 。
直線的方向向量，以及平面的法向量，其作用的備課素材，則有如下情況：其一，能夠借助直線的方向向量直線的方向向量怎么求，與平面的法向量，來表示空間直線、平面的平行、垂直等位置關系；其二，能夠利用它們去求直線與平面所成的角；其三，能夠解決有關線段的長度，或點、線、面之間的距離問題。