探索空間中直線、平面的垂直：教學目標、方法、過程與反思
更新時間：2024-07-17 10:26:05作者：佚名
以下是內(nèi)容摘要：
教學內(nèi)容呈現(xiàn)
各位領(lǐng)導、各位老師大家好，今天我給大家講授的課程題目是《空間中直線與平面的垂直性》。
我將從教學目標、教學方法、教學過程、教學反思四個方面進行分析。
01
談?wù)摻虒W目標
全書從教學要素出發(fā)直線的法向量，介紹了教材資源、內(nèi)容定位、課程標準、生源分析等。
教材解析——
本課選自《2019年人教版高中數(shù)學選修必修上冊》第一章1.4.1第三課《空間中直線與平面的垂直性》，主要研究空間中點、線、面的向量表示，利用空間向量解決直線與平面的垂直性，是一節(jié)新課。
內(nèi)容定位——本課以空間中直線與平面的平行性為基礎(chǔ)貝語網(wǎng)校，繼續(xù)用直線的方向向量與平面的法向量來描述空間中直線與平面的垂直關(guān)系。本課不僅是對前面知識的鞏固與升華，完成定性分析；也是后續(xù)對直線與平面間距離、夾角等定量研究的基礎(chǔ)。同時，本課體現(xiàn)了變換與歸約、類比與歸納等數(shù)學思想，是高中立體幾何課程的重點課題之一。
課程標準解讀：能用矢量語言描述空間中的點、線、面，理解直線的方向矢量、平面的法矢量；能用矢量語言表達直線之間、線與面、平面之間的垂直關(guān)系；能用矢量的方法證明必修內(nèi)容中關(guān)于直線與平面垂直的定理。
學情分析——信息時代，人工智能完全可以替代人工完成很多基礎(chǔ)性的工作，這對學習活動提出了挑戰(zhàn)，要求學生學會學習，具備深度思考的能力。通過課堂活動，學生體驗獨立思考、合作學習，逐步養(yǎng)成用理論指導實踐的科學學習觀。
高二階段是心理發(fā)展階段，容易出現(xiàn)兩極分化，已經(jīng)完全適應(yīng)高一節(jié)奏的學生可以快速進入狀態(tài)，暫時落后的學生需要及時趕上隊伍。通過調(diào)動參與課堂的積極性，讓更多的人看到課堂的精彩。通過及時、積極的反饋，增強目的感。課堂上需要更多的學習指導，培養(yǎng)學生與生活經(jīng)驗建立聯(lián)系，進行高路徑遷移，在解決問題的過程中體驗成就感。
重點難點解析——
重點：運用矢量方法解決空間圖形的垂直問題。
難點：1、建立空間圖形基本元素與向量之間的關(guān)系；
2. 如何將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間矢量問題。
教學目標：能用矢量語言表達直線之間、直線與面、平面之間的垂直關(guān)系；能用矢量的方法證明必修內(nèi)容中關(guān)于直線與平面垂直關(guān)系的判斷定理。
核心素養(yǎng)——建立空間圖形基本元素與向量的關(guān)系，培養(yǎng)在必修內(nèi)容中運用向量方法證明直線與平面垂直關(guān)系定理的能力。提高學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。
02
談?wù)摻虒W方法
在教學過程中，根據(jù)教學任務(wù)和學習的客觀規(guī)律，采用啟發(fā)式教學法；從高中學生智力發(fā)展特點和抽象思維能力訓練的實際出發(fā)，以學生的啟發(fā)式思維為核心，調(diào)動學生學習的主動性和積極性，將教學設(shè)計中的“預(yù)設(shè)”情境與課堂的“生成”相結(jié)合。在教學過程中，特別注重學習方法的引導。讓學生從機械的“學答”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W”，從“學”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W會學”，成為學習的真正主人。引導學生獨立思考、小組討論，或在教師的引導下（啟發(fā)學生）學會發(fā)現(xiàn)、提出問題。師生、生生之間，利用課內(nèi)互動、疑惑、答疑等多種形式，加強課堂上知識的消化、吸收、鞏固和內(nèi)化。
03
談?wù)摻虒W過程
本課程分為四個部分：
第一節(jié)：探索空間中直線與平面的垂直關(guān)系
類似于空間中平行線和平面的矢量表示，矢量是否也能表示空間中線和平面的垂直關(guān)系？
后續(xù)問題：空間中直線和平面的垂直關(guān)系是怎樣的？
設(shè)計意圖是先讓學生獨立思考，再與全班同學交流。教師引導學生類比空間中研究直線與平面平行性的過程，直線與直線、直線與平面、平面的垂直關(guān)系的研究可類似進行。讓學生自主探索，將直線與平面的垂直關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為直線方向向量與平面法向量關(guān)系的研究，然后借助圖形分別給出直線與直線、直線與平面、平面的垂直度的向量表達式。
通過問題系列的形式，引導學生思考，鞏固知識體系。
它們是：空間中直線和平面之間的位置關(guān)系是什么樣的？
學生獨立思考，總結(jié)、復習必修內(nèi)容——直線之間的垂直關(guān)系、直線與平面之間的垂直關(guān)系、平面之間的垂直關(guān)系。
接下來引導學生類比平行關(guān)系中的向量表示以及轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系中的空間向量表示。
問題1：如何用向量表示兩條直線之間的垂直關(guān)系？
問題2：如何用向量表示直線與平面的垂直關(guān)系？
問題3：根據(jù)平面間的垂直關(guān)系，可以得到向量間什么關(guān)系？
設(shè)計意圖：教師引導學生分析利用兩個平面的法向量來表示兩個平面之間的平行關(guān)系。
設(shè)計意圖：學生用自然語言概括空間中直線與平面的垂直關(guān)系，借助圖形語言直觀呈現(xiàn)，用數(shù)學符號語言體現(xiàn)簡潔性，再轉(zhuǎn)化為矢量語言表達。用四種語言表達空間中直線與平面的垂直關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學是一門抽象而嚴謹?shù)膶W科，數(shù)學研究成果豐富多彩，數(shù)學探究活動多樣多樣。
引用教材第32頁關(guān)于“邊緣空間”的問題——后續(xù)問題：我們隨時隨地都可以看到向量運算的作用。你是否同意“向量是軀體直線的法向量，運算是靈魂”、“沒有運算的向量只能起到路標的作用”這種說法？
設(shè)計意圖：引導學生注意向量運算在解決幾何問題中的作用，只有利用向量運算才能解決空間圖形的位置關(guān)系和度量問題，例如兩條直線的垂直度可以用它們方向向量的點積為0來表示。
第二步：通過實例總結(jié)利用矢量法解決立體幾何問題的方法
教學片段分析：（教材第32頁）
平行六面體的幾何特征明顯，利用幾何方法解題十分有用。
設(shè)計意圖：復習平面向量基本定理，用基向量表示平面內(nèi)任意向量。此環(huán)節(jié)結(jié)合學習情境，充分讓學生自主表達，讓學生體驗用數(shù)學的眼睛觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維去思考具體的問題情境，鍛煉“用數(shù)學語言表達實際問題的能力”。
老師：思路清晰，簡潔（直觀的板書演示，具體見教材。老師及時評價反饋）上面的討論也是教材中的方法，體現(xiàn)了直線與平面垂直的定義——直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直。
純向量的運算證明了直線與平面的垂直關(guān)系，我們可以體會到向量的作用就是通過運算體現(xiàn)出來的。
你們有不同意見嗎？你們有其他想法嗎？我們可以繼續(xù)討論。
學生：通過復習“直線與平面垂直定理——直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線”，我們可以將其轉(zhuǎn)化為向量表示。還有“直線與平面垂直定理——如果兩條平行線中有一條垂直于平面，則另一條線也垂直于平面”。我們可以把證明方法想象成平面的法向量與向量A1C共線。
設(shè)計意圖：例4鼓勵學生從不同角度靈活選擇使用向量法和綜合幾何法解決立體幾何問題，通過比較體會向量法的優(yōu)勢。啟發(fā)學生不斷思考，目的是讓學生認識到代數(shù)與幾何的融合是一種普適的方法。讓學生認識到“基礎(chǔ)方法”比“坐標方法”更具有普遍性。
讓學生體會空間向量基本定理在證明中的作用以及利用空間向量解決問題的一般方法。在上述過程中，引導學生理解向量基本定理的本質(zhì)，領(lǐng)悟“基”的思想，并運用其解決立體幾何中的問題。
例5、證明“一個平面垂直于另一個平面的定理”：如果一個平面通過另一個平面的垂直線，則這兩個平面垂直。
師生活動：學生理解問題含義，嘗試解答，教師指導學生進行分析，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號，完成證明。
設(shè)計意圖：設(shè)置例5的目的是為了讓學生了解用向量法證明兩平面垂直的一般思路。教學過程中要注意突出直線方向向量與平面法向量的作用，即通過直線方向向量與平面法向量，??把與平面的關(guān)系完全轉(zhuǎn)化為兩向量之間的關(guān)系，并通過向量的運算，得出空間圖形的位置關(guān)系。
重點分析此部分，強化規(guī)范操作流程，完成利用矢量工具解決幾何問題的三個步驟。
第三節(jié)（課堂部分）理清流程，領(lǐng)悟精髓
回顧本課所學內(nèi)容，回答下列問題：類比空間中平行的直線與平面的向量表示，直線與平面垂直關(guān)系中，直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系是怎樣的？你對此有何看法？
這節(jié)課我們運用了哪些思想和方法？我們展示了哪些核心數(shù)學素質(zhì)？
第四節(jié)：家庭作業(yè)
針對高二學生素質(zhì)的差異，我們進行了分層訓練，這樣既可以讓學生掌握基礎(chǔ)知識，又可以讓有課余時間的學生得到提高，讓每個人都能得到良好的數(shù)學教育，讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。我布置的班級作業(yè)是：
基本標準：課本第33頁練習1、2、3；結(jié)合學習指南中的限時測試部分進行復習和鞏固；
綜合運用：課本第42頁練習5、第43頁練習11。特別是比例4中平行六面體的證明過程，讓學生證明立方體中體對角線垂直于面對角線，并對比幾何方法的證明過程，再次體會向量法的優(yōu)越性。
板書設(shè)計——直觀、系統(tǒng)的板書設(shè)計，及時體現(xiàn)課本上的知識點，讓學生理解、掌握。我的板書設(shè)計是：
第三課：空間中直線與平面的垂直性
1.垂直線與直線方向向量的關(guān)系；
2、直線與平面、直線方向向量與平面法向量的關(guān)系；
3、互相垂直的平面與平面法向量的關(guān)系。
04
教學反思
本課緊扣課程標準要求，以提高學生核心素養(yǎng)為中心組織教學，實現(xiàn)以數(shù)學育人的目標。在本課教學過程中，我注重突出重點，條理清晰，安排各項活動注重互動交流，最大限度調(diào)動學生參與課堂的積極性和主動性。主要突出的特點有：
（1）用類比推理研究和解決問題
以此類推，我們可以從上一課“直線與平面在空間中平行”得到“直線與平面在空間中垂直”的向量表示，進而利用向量的方法證明直線與平面垂直的判定定理。
另一種嘗試是引導學生用類比的方法，體驗向量及其運算由二維平面延伸到三維空間的過程，探究空間向量與平面向量的相同點和不同點，啟發(fā)學生思考增加維數(shù)所帶來的影響。
類比探索是數(shù)學研究的一個非常重要的手段，本課利用向量法求解空間中直線、平面的垂直度，構(gòu)建知識框架，將類比、猜想能力的培養(yǎng)合理融入課堂教學，充分挖掘本課的思維深度與廣度。
（二）課堂與教材的有機結(jié)合
教材是教學的藍圖，我們研究教材，結(jié)合學生對立體幾何的掌握，根據(jù)課堂教學內(nèi)容進行有機結(jié)合，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
一是及時整理總結(jié)高一必修內(nèi)容。
結(jié)合高一第二節(jié)必修課《空間直線與平面垂直定理的證明》，通過直線方向向量與平面方向向量的刻畫，得到直線與平面垂直定理的證明，順利銜接高一必修內(nèi)容與高二選修必修內(nèi)容，鞏固強化知識體系。
第二，單元教學的意識，特別是在例4的證明中，結(jié)合前面學過的平面向量基本定理，表示平面中任意向量，推廣到空間向量基本定理，表示空間中任意向量，值得借鑒和推廣。綜合證明方法，結(jié)合直線與平面垂直的定義與判定定理，以及直線與平面垂直的性質(zhì)定理。
第三，利用向量工具解決立體幾何問題的“三個步驟”是本單元第二部分學習距離、角度問題時所提到的，本課結(jié)合前面利用空間向量平行關(guān)系的學習，提出了利用空間向量解決立體幾何問題的數(shù)學建模過程的三個步驟，從頭到尾都能規(guī)范地實施，并將大單元后續(xù)內(nèi)容有機地結(jié)合起來，讓學生通過綜合運用教材，充分體會到數(shù)學知識之間的聯(lián)系。
利用學生已有的向量工具解決新問題。教學中要考慮學生的最近發(fā)展區(qū)，多多啟發(fā)學生的猜想。例如，例4中，為了證明直線與平面垂直，設(shè)置了獨立思考、小組討論等交流平臺，啟發(fā)學生發(fā)散思維，讓課堂更加精彩。
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