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假期里學(xué)生們已經(jīng)開始在家休息，但絕不能放松對(duì)學(xué)習(xí)的要求。 小豆夫老師整理了《中考數(shù)學(xué)因式分解9法》供學(xué)生們假期復(fù)習(xí)。

1.使用公式方法

我們知道整數(shù)乘法和因式分解是互為逆變換。 如果我們反轉(zhuǎn)乘法公式，我們就可以對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。 所以我們有：

a2-b2=(a+b)(ab)

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(ab)2

如果反轉(zhuǎn)乘法公式，則可以用它來(lái)分解某些多項(xiàng)式。 這種因式分解的方法稱為應(yīng)用公式。

2.平方差公式

1、公式：a2-b2=(a+b)(ab)

2.語(yǔ)言：兩個(gè)數(shù)的平方差等于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)之差的乘積。 這個(gè)公式就是平方差公式。

3. 因式分解

1、因式分解時(shí)，若項(xiàng)間存在公因數(shù)，應(yīng)先取出公因數(shù)，然后再進(jìn)行因式分解。

2. 必須進(jìn)行因式分解，直到多項(xiàng)式的每個(gè)因式都無(wú)法再分解為止。

4.完全平方公式

1.代入乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2得

(ab)2=a2-2ab+b2 反過(guò)來(lái)，我們可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2 且a2-2ab+b2=(ab)2。 這兩個(gè)公式稱為完全平方公式。

即，兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。 像 a2+2ab+b2 和 a2-2ab+b2 這樣的公式稱為完全平方公式。

2、全平式的形式及特點(diǎn)：

物品數(shù)量：三件；

有兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)字的平方和，并且這兩項(xiàng)具有相同的符號(hào)；

有一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)字乘積的兩倍。

3、當(dāng)多項(xiàng)式存在公因式時(shí)，應(yīng)先取出公因式，然后利用公式進(jìn)行因式分解。

4.完全平方公式中的a和b可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。 這里我們只需要把多項(xiàng)式看成一個(gè)整體即可。

5. 對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，直到每個(gè)因式都無(wú)法再因式分解。

5、分組分解法

讓我們看一下多項(xiàng)式 am+an+bm+bn。 這四項(xiàng)之間沒(méi)有公因子，因此不能使用公因子提取方法。 再次，我們不能用公式的方法來(lái)分解因素。

如果我們將其分為兩組（am+an）和（bm+bn），則可以使用提取公因子的方法將這兩組分別分解。

原公式 = (am + an) + (bm + bn) = a (m + n) + b (m + n)

此步驟不稱為對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因?yàn)樗环弦蚴椒纸獾暮x。 但不難看出，這兩項(xiàng)仍然有一個(gè)公因數(shù)（m+n），所以可以進(jìn)一步對(duì)它們進(jìn)行因式分解，所以：

原公式 = (am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b)。

這種利用分組進(jìn)行因式分解的方法稱為群分解法。 從上面的例子我們可以看出，如果一個(gè)多項(xiàng)式在對(duì)項(xiàng)進(jìn)行分組并提取公因式后，其他因式完全相同，那么就可以使用群分解的方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

6.公因數(shù)法

1、采用提取公因數(shù)的方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，首先觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，確定多項(xiàng)式的公因數(shù)。 當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，可以通過(guò)設(shè)置輔助元素將其轉(zhuǎn)換為單項(xiàng)式，也可以將多項(xiàng)式因數(shù)視為一個(gè)整體，直接提取公因數(shù)； 當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因數(shù)隱式時(shí)，應(yīng)將多項(xiàng)式適當(dāng)變形或改變符號(hào)，直至確定??多項(xiàng)式的公因數(shù)。

2、使用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)×(x+p)進(jìn)行因式分解時(shí)，請(qǐng)注意：

(1) 常數(shù)項(xiàng)必須首先分解為兩個(gè)因子的乘積，其代數(shù)和等于線性項(xiàng)的系數(shù)。

(2)多次嘗試將常數(shù)項(xiàng)分解為滿足要求的兩個(gè)因子的乘積。 一般步驟是：

列出將常數(shù)項(xiàng)分解為兩個(gè)因子的乘積的各種可能方法；

嘗試找出哪兩個(gè)因子的總和恰好等于一階項(xiàng)的系數(shù)。

3、將原多項(xiàng)式分解為(x+q)(x+p)的形式。

7. 分?jǐn)?shù)的乘法和除法

1. 約簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子和分母的公因數(shù)稱為約簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的目的是將其轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

3、如果分?jǐn)?shù)的分子或分母是多項(xiàng)式，可以先考慮將其單獨(dú)因式分解，得到因子乘積形式，然后減少分子和分母的公因子。 如果分子或分母中的多項(xiàng)式不能因式分解，則分子和分母中的某些項(xiàng)不能單獨(dú)約簡(jiǎn)。

4、分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)時(shí)要注意正確使用求冪的符號(hào)規(guī)則，如xy=-(yx)、(xy)2=(yx)2、

(xy)3=-(yx)3。

5、符號(hào)為n次方的分?jǐn)?shù)的分子或分母，可以按照分?jǐn)?shù)符號(hào)規(guī)則轉(zhuǎn)換為整個(gè)分?jǐn)?shù)的符號(hào)，然后按照-1的偶次方為正、奇次方處理作為負(fù)數(shù)。 當(dāng)然，簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的分子和分母可以直接相乘。

6、注意混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先計(jì)算括號(hào)，然后求冪，然后乘除，最后加減。

8. 分?jǐn)?shù)的加法和減法

1. 雖然公分母和約化分?jǐn)?shù)都與分?jǐn)?shù)有關(guān)，但它們是兩個(gè)相反的變換。 約簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)與一個(gè)分?jǐn)?shù)有關(guān)，而公分母與多個(gè)分?jǐn)?shù)有關(guān)； 約化分?jǐn)?shù)是將分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)化，而公分母是將分?jǐn)?shù)復(fù)雜化，從而統(tǒng)一各分?jǐn)?shù)的分母。

2.公分母和分?jǐn)?shù)約簡(jiǎn)都是基于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的變換。 他們的共同點(diǎn)是分?jǐn)?shù)的值保持不變。

3、一般情況下，公分母的結(jié)果中，分母不展開而是寫成連續(xù)乘積的形式，分子相乘，寫成多項(xiàng)式，為進(jìn)一步的計(jì)算做準(zhǔn)備。

4、公分母的基礎(chǔ)：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

5、公分母的關(guān)鍵：確定幾個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母。 通常，取每個(gè)分母所有因子的最高次冪的乘積作為公分母，稱為最簡(jiǎn)單公分母。

6、以分?jǐn)?shù)的公分母類推求分?jǐn)?shù)的公分母：將幾個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)化成與原分?jǐn)?shù)的分母相同的分?jǐn)?shù)，稱為分?jǐn)?shù)的公分母。

7、同分母分?jǐn)?shù)加減的規(guī)則是：同分母分?jǐn)?shù)加減時(shí)，分母不變，分子加減。 同分母分?jǐn)?shù)加減時(shí)分式的乘方和乘方法則，分母不變，分子加減。 這是將分?jǐn)?shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為整數(shù)運(yùn)算。

8、不同分母分?jǐn)?shù)的加減法規(guī)則：不同分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，先求公分母，化為同分母分?jǐn)?shù)分式的乘方和乘方法則，然后再進(jìn)行加減。

9、同分母分?jǐn)?shù)相加或相減時(shí)，分母不變，只需加或減分子。 但請(qǐng)注意，每個(gè)分子都是一個(gè)整體，應(yīng)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候添加括號(hào)。

10、整個(gè)表達(dá)式與分?jǐn)?shù)之間的加減運(yùn)算，將整個(gè)表達(dá)式看成一個(gè)整體，即看成一個(gè)分母為1的分?jǐn)?shù)，從而求出公分母。

11. 進(jìn)行不同分母分?jǐn)?shù)的加減法時(shí)，首先檢查每個(gè)式子是否是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 如果可能的話，先減少分?jǐn)?shù)以簡(jiǎn)化公式，然后再求公分母。 這將簡(jiǎn)化操作。

12、作為最終結(jié)果，如果是分?jǐn)?shù)，應(yīng)該是最簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)。

9. 具有字母系數(shù)的線性方程

示例：數(shù)字 a 乘以 (a≠0) 等于 b。 找到這個(gè)號(hào)碼。 使用 x 來(lái)表示這個(gè)數(shù)字。 根據(jù)問(wèn)題，我們可以得到方程ax=b(a≠0)

在此方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。 對(duì)于x，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。 該方程是一個(gè)帶有字母系數(shù)的線性方程。 含有字母系數(shù)的方程的解和我們之前學(xué)過(guò)的只有數(shù)字系數(shù)的方程的解是一樣的，但是要特別注意的是，當(dāng)使用含有字母的公式來(lái)對(duì)方程兩邊進(jìn)行乘法或除法時(shí)，該公式的值不能等于零。