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如圖，線段AB經過圓心O，交⊙O于點A，C，點D在⊙O上，連接AD，BD，∠A=∠B=30°，圓的半徑R．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積．

試題答案

（1）證明：

連接OD，

∵OA=OD，∠A=∠B=30°，

∴∠A=∠ADO=30°，

∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°，

∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=90°，

∵OD是半徑，

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠B=30°，∠ODB=90°，OD=R，

∴OB=2R，

由勾股定理得：BD=R，

∴圖中陰影部分的面積是：S_△BDO-S_扇形DOC=×R×R-=R²，

答：圖中陰影部分的面積是R²．

試題解析

（1）連接OD，求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）求出OB、BD、求出△BDO的面積和扇形DOC的面積，即可求出答案．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的外角性質，等腰三角形的性質，三角形的面積，扇形的面積的應用，解（1）小題關鍵是求出∠ODB=90°，解（2）小題關鍵是求出△BDO和扇形DOC的面積，題目比較好．