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學(xué)校時(shí)侯我們就學(xué)過圓的面積公式S=πR2，其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的直徑。你們還記得這個(gè)公式是如何得到的嗎？我們可以用一個(gè)披薩餅來說明。并且，通過這個(gè)反例，還可以向你們說明微積分的基本原理。

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以下是我的第一本掃盲書

《十分鐘情商運(yùn)動(dòng)》

相關(guān)內(nèi)容

1圓的面積

首先，我們畫一個(gè)圓，這個(gè)圓的直徑為R，邊長(zhǎng)為C。我們曉得，圓的邊長(zhǎng)與半徑的比定義為圓周率π高中微積分公式，所以C=2πR，這個(gè)公式就是圓周率的定義，是不須要推論的。

之后，我們把圓分割成許多個(gè)小半圓，就好似一個(gè)披薩餅分割成了這些小塊。我們把這種半圓披薩餅一正一反的拼在一起，那樣就產(chǎn)生了一個(gè)接近于長(zhǎng)圓形的圖形。

把圓分割成許多小份

可以想像，假如圓分割的越細(xì)，拼好的圖形就越接近長(zhǎng)圓形。假如圓分割成無限多份，這么拼上去就是一個(gè)嚴(yán)苛的長(zhǎng)圓形了。

但是，這個(gè)長(zhǎng)圓形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只須要求出這個(gè)長(zhǎng)圓形的面積就可以了。

雖然，這個(gè)長(zhǎng)圓形的寬就是圓的直徑R，而長(zhǎng)圓形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，按照長(zhǎng)矩形的面積公式“長(zhǎng)矩形面積=長(zhǎng)乘寬”，我們得到圓的面積公式：

然而，這個(gè)推論過程很簡(jiǎn)略，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。

分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

2牛頓與萊布尼茨之爭(zhēng)

你們曉得微積分是誰發(fā)明的辦法嗎？

從古埃及時(shí)代開始，物理家們就早已運(yùn)用微積分的思想處理問題了。例如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關(guān)問題時(shí)都用到了這些思想，而且當(dāng)時(shí)微積分還沒有成為一種理論機(jī)制。直至十七世紀(jì)，因?yàn)榈乩韺W(xué)中求解運(yùn)動(dòng)——天文、航海等問題越來越多，對(duì)微積分的需求顯得越來越緊迫。然后，美國(guó)知名物理家、物理學(xué)家牛頓和英國(guó)文學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別發(fā)明了微積分。

1665年，牛頓從劍橋?qū)W院結(jié)業(yè)，那時(shí)他22歲。他原本應(yīng)當(dāng)留校工作，然而美國(guó)忽然爆發(fā)瘟疫，學(xué)院關(guān)掉了。牛頓只得回到老家躲避瘟疫。在此后的五年里，牛頓遇見了他的小米，發(fā)明了流數(shù)法、發(fā)現(xiàn)了衍射，并提出了萬有引力定理。

牛頓

牛頓何謂的流數(shù)法，就是我們所說的微積分。雖然牛頓當(dāng)初并沒有把它看得太重要，也是把它作為一種很小的物理工具，是自己研究化學(xué)問題時(shí)的副產(chǎn)品，因此并不急于把這些技巧公之于眾。

三年以后，萊布尼茨了解到牛頓的物理工作，與牛頓進(jìn)行了短暫的通訊。在1684年高中微積分公式，萊布尼茨作為微積分發(fā)明第一人，連續(xù)發(fā)表了兩篇論文，即將提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數(shù)法幾乎晚了20年。并且在論文中，萊布尼茨對(duì)他與牛頓之間通訊的事只字未提。

牛頓暴怒了。作為德國(guó)科學(xué)界的學(xué)術(shù)權(quán)威，牛頓通過日本皇家科大學(xué)公開抨擊萊布尼茨，并刪掉了長(zhǎng)詩(shī)《自然文學(xué)的物理原理》中有關(guān)萊布尼茨的部份。萊布尼茨也毫不退讓，對(duì)牛頓反唇相譏。兩個(gè)科學(xué)泰斗的爭(zhēng)辯直至兩人逝世仍然沒有結(jié)果。我們現(xiàn)在提到微積分公式，還稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

牛頓和萊布尼茨之爭(zhēng)

它們?cè)谧约旱膶Ｖ袆h掉對(duì)手的名子，后代卻總是把它們的名子置于一塊寫。假如它們曉得微積分公式目前的名子，又會(huì)作何看法呢？歷史就是如此有趣。

3微積分能干啥？

為了讓你們更了解微積分及其應(yīng)用，我們?cè)賮砉浪阋粋€(gè)面積：有一個(gè)三條邊為直線，一條邊為曲線的木條，而且有兩個(gè)直角。我們希望求出木條的面積。

求不規(guī)則圖形的面積

為了求出這個(gè)面積，我們首先把木條置于一個(gè)座標(biāo)系內(nèi)，斜邊與x軸重合。左右兩個(gè)邊分別對(duì)應(yīng)著x=a和x=b兩個(gè)位置，而頂邊曲線滿足函數(shù)。函數(shù)就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：每位x對(duì)應(yīng)的縱座標(biāo)高度是f(x)。

假如我們把這個(gè)圖形用與y軸垂直的線進(jìn)行無線分割，這么每一個(gè)豎線都十分接近于一個(gè)長(zhǎng)圓形。長(zhǎng)圓形的寬是一小段橫座標(biāo)Δx，高接近于f(x)，因此一個(gè)淺色的面積就是f(x)Δx。

目前我們把無限多的小條紋求和，就是板子的面積，寫作

其中a稱作下限，b稱作上限，f(x)稱作被積函數(shù)，這個(gè)式子就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。

如何樣？即使微積分的估算比較復(fù)雜，并且明白其中的原理還是非常簡(jiǎn)略的，對(duì)不對(duì)？

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