更新時間：2024-01-12 16:38:11作者：貝語網校
已知：如圖，Rt△ABC外切于⊙O，切點分別為E、F、H，∠ABC=90°，直線FE、CB交于D點，連接AO、HE，則下列結論：
①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB2=AO•DF；④AE•CH=S△ABC
其中正確的是
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
D
連接OE，OH，OF，OB，
①由切線的性質和四邊形的內角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圓周角定理即可得到證明結論正確；
②根據已知條件知道四邊形OEBH是正方形，然后證明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的對應邊相等即可得出結論；
③根據已知條件可以證明△DFH∽△ABO，根據相似三角形的對應邊成比例和已知條件即可證明結論正確；
④根據直角三角形的面積公式直接解答即可．
解答：解：①連接OE，OH，則OE⊥AB，OH⊥BC，
得出：∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，
根據圓周角定理得∠FEH=∠FOH=45°+∠FAO，故此選項正確；
②連接OF，由①得四邊形OEBH是正方形，
則圓的半徑=BE，
∴OF=BE，
又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
則△BDE≌△FAO（SAS），
∴BD=AF；
故此選項正確；
③∵Rt△ABC外切于⊙O，切點分別為E、F、H，
∴BE=BH，AF=AE，
根據②得BD=AF，
∴BD=AE（等量代換），
∴AB=DH；
連接OB．
∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，
∴△DFH∽△ABO，
則DH•AB=AO•DF，又AB=DH，
所以AB2=AO•DF；故此選項正確．
④S△ABC=AB•BC=（AE+BE）•（BH+CH）；
故此選項錯誤；
綜上所述，正確的說法有①②③；
故選D．
點評：本題考查了三角形的內切圓與內心．此題綜合運用了切線的性質定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質和判定，綜合性比較強．