（每日一題）倍長中線與中點有關知識
更新時間：2023-05-20 15:02:57作者：佚名
【專題說明】
倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部份與中線相等，于是常常還要連結相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常適于構造全等三角形。中線倍長法多適于構造全等三角形和證明邊之間的關系（一般用“SAS”證明）（注：通常都是原題早已有中線時用，不太會有自己畫中線的時侯）。
【知識小結】
題干中出現三角形一邊的中線（與中點有關的線段），或中點，一般考慮倍長中線或類中線，構造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，以便利用全等三角形的有關知識來解決問題的辦法.
主要思路：倍長中線（線段）造全等
方式一：在△ABC中AD是BC邊中線，延長AD到E與三角形有關的線段，使DE=AD，連結BE
方式二：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連結BE
方式三：延長MD到N，使DN=MD，連結CD
1、如圖，已知在△ABC中，D為AC中點，連結BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中線BD的取值范圍。
解：如圖，延長BD至E,使BD=DE,連結CE,
∵D為AC中點
∴AD=DC,
在△ABD和△CED中，
BD=DE,
∠ADB=∠CDE
AD=CD
∴△ABD≌△CED（SAS）
∴EC=AB=10
在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC
10-6＜BE＜10+6
∴4＜2BD＜16
∴2＜BD＜8
2、如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．
3、如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連接并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．
【答案】詳見解讀
【分析】延長AD到M，使DM=AD，連結BM，按照SAS推出△BDM≌△CDA，按照全等三角形的性質得出BM=AC，∠CAD=∠M，按照BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．
【點睛】
本題考查了全等三角形的性質和判斷，等邊三角形的性質和判斷的應用與三角形有關的線段，主要考查師生的利用性質進行推理的能力，關鍵是能按照“倍長中線”法做出輔助線來構造全等三角形．
4、如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點E、F，求證：BE+CF＞EF.
5、在Rt△ABC中，∠A=90°，點D為BC的中點，點E,F分別為AB，AC上的點，且ED⊥FD,以線段BE,EF,FC為邊能夠構成一個三角形？若能，請判定三角形的形狀？
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