更新時間：2024-01-12 16:34:29作者：貝語網校
如圖，已知等邊三角形△AEC，以AC為對角線做正方形ABCD（點B在△AEC內，點D在△AEC外）．連接EB，過E作EF⊥AB，交AB的延長線為F．
（1）猜測直線BE和直線AC的位置關系，并證明你的猜想．
（2）證明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．
解：（1）猜測BE和直線AC垂直．
證明：∵△AEC是等邊三角形，
∴AE=CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB（SSS）．
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE=CE，
∴BE⊥AC；
（2）∵△AEC是等邊三角形，
∴∠EAC=∠AEC=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠AEC=30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，
∴△BEF∽△ACB，
延長EB交AC于G，設AC為2a，則BG=a，EB=a-a，
∴相似比是：===
（1）由等邊三角形△AEC與正方形ABCD，利用SSS，易證：△AEB≌△CEB，再根據等腰三角形的三線合一性質，即可證得：BE⊥AC；
（2）根據題意易得∠EBF的度數為45°，則易證△BEF∽△ABC，又由相似三角形的對應邊成比例，則可求得相似比．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及等邊三角形的性質等知識．題目圖形較復雜，解題時要注意數形結合思想的應用．